В теории множеств порядковым числом, или ординалом (латинское ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (латинское trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Множества $S$ и $S'$ обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию $f$ , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому $x$ из $S$ соответствует единственное $y=f(x)$ из $S'$ , а каждое $y$ из $S'$ является образом единственного $x$ из $S$ ).

Предположим, что на множествах $S$ и $S'$ заданы частичные порядки ${\displaystyle$ и ${\displaystyle$ соответственно. Тогда частично упорядоченные множества ${\displaystyle (S,$ и ${\displaystyle (S',$ называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение $f$ , при котором заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, ${\displaystyle f(a)$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a$ . Любое вполне упорядоченное множество ${\displaystyle (S,$ изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу ${\displaystyle (S,$ ).

Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число $\omega$ отождествляется с кардинальным числом $\aleph _{0}$ . Однако в случае трансфинитных чисел, больших $\omega$ , ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным $\aleph _{0}$ , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, $1+\omega$ совпадает с $\omega$ , но отличается от $\omega +1$ ; аналогично $2\cdot \omega =\omega$ , но не равно $\omega \cdot 2$ . Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число $\omega _{1}$ , соответствующее кардинальному числу $\aleph _{1}$ (следующее число после $\aleph _{0}$ ). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

Обычно произвольный ординал $\alpha$ определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших $\alpha$ . Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого. Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью). Для заданного класса порядковых чисел можно указать его $\alpha$ -й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать). Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней $\omega$ . Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например, $\varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}$ . Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию. Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен $\omega$ . Подмножество $\omega +1$ будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит $\omega$ в качестве элемента.

транзитивное множество — 7 букв

Авторизация

Добавление нового ответа