Те́нзор (от латинского tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве $V$ конечной размерности $n$ . В физике в качестве $V$ обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин.

Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счет сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета.

Тензоры различаются по рангу, который определяется парой натуральных чисел $(s,r)$ , где $s$ — контравариантный, а $r$ — ковариантный ранг (и говорят $s$ раз контравариантный и $r$ раз ковариантный тензор), а сумма $s+r$ называется просто рангом тензора.

Тензоры ранга $(s,r)$ — это векторы линейного пространства, полилинейно связанного с пространством $V$ и обозначаемого $\otimes _{r}^{s}V$ или $T_{r}^{s}(V)$ . Размерность $\otimes _{r}^{s}V$ равна числу компонент тензора, а сами компоненты представляют собой координаты тензора в $\otimes _{r}^{s}V$ в базисе, «привязанном» к базису пространства $V$ . Ранг тензора вместе с размерностью пространства $V$ определяют количество компонент тензора $n^{s+r}$ , а ковариантный и контравариантный ранг — характер их зависимости от базиса в пространстве $V$ .

Именно полилинейная связь между $V$ и $\otimes _{r}^{s}V$ позволяет идентифицировать векторы из $\otimes _{r}^{s}V$ как тензоры на $V$ , а не просто векторы некоторого пространства, так как при замене базиса в $V$ , также меняется базис в $\otimes _{r}^{s}V$ и координаты тензора как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства $V$ . Несмотря на изменения компонент тензора при смене базиса, тензоры, как алгебраические и геометрические объекты, от базиса не зависят — одному и тому же объекту могут соответствовать разные наборы координат в разных базисах.

Компоненты тензора при фиксированном базисе $V$ можно структурировать в виде $(n+r)$ -мерной таблицы $n\times n\times \cdots \times n$ . При ранге 0 таблица представляет собой одно число, при ранге 1 — упорядоченный набор (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 — квадратную матрицу, при ранге 3 — трёхмерный куб и т. д. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно.

Таким образом, тензоры ранга 1 — это векторы пространства $V$ , а также — линейные функционалы (ковекторы) на $V$ , образующие сопряженное пространство $V^{*}$ той же размерности. Тензоры 2 ранга — это билинейные формы, линейные операторы и бивекторы на $V$ , также образующие соответствующие линейные пространства. К тензорам (ранга 0) относятся также скаляры — элементы поля, на котором задано пространство $V$ (обычно это действительные или комплексные числа). Скаляры не изменяются (инвариантны) при смене базиса.

Компоненты тензора ранга $(s,r)$ записываются с помощью $s$ верхних (контравариантных) и $r$ нижних (ковариантных) индексов: $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ . Например, векторы в тензорном обозначении записываются с одним верхним индексом $x^{i}$ , линейные операторы — с нижним и верхним индексами: $a_{j}^{i}$ , билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами $F_{ij}$ . Тензор типа $(1,3)$ (например, тензор кривизны Римана) будет записан как $R_{jkl}^{i}$ .

В приложениях часто применяются тензорные поля, которые сопоставляют различным точкам пространства разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами.

Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 году.

матричный вектор — 6 букв

Авторизация

Добавление нового ответа